12- Ecuación del plano en el espacio afín tridimensional.

Un plano p del espacio afín queda determinado cuando se conoce un punto suyo A y dos vectores   y   no nulos y linealmente independientes que están contenidos en el plano, y que se llaman vectores direccionales o vectores base del plano.

 

 

 

a) Ecuación  vectorial del plano.

 

 

 

Sea  p un plano que pasa por el punto  y tiene como vectores directores los vectores  y . Para obtener las coordenadas de un punto cualquiera P del plano p, que serán , se puede establecer teniendo en cuenta que si P es un punto del plano p , este punto se debe poder “alcanzar” mediante una combinación lineal de los vectores  y .

Por tanto, la ecuación vectorial del plano será:

Dándole valores a  l  y m  obtendremos los distintos puntos del plano.

b) Ecuaciones paramétricas del plano.

Partiendo de la ecuación anterior (la ecuación vectorial del plano) podemos deducir la ecuación paramétrica separando cada una de las componentes del punto:


multiplicando  los parámetros obtengo:

Igualando las componentes obtenemos las ecuaciones paramétricas del plano:

c)  Ecuación general del plano.

Si consideramos los vectores  , y  que se crean en el plano, está claro que se forman tres vectores linealmente dependientes. Esto quiere decir que el determinante formado por los tres vectores es igual a cero. De igualar a cero este determinante se obtiene la ecuación general o ecuación implícita del plano.

 

Al desarrollar ese determinante queda una expresión de la forma: